【問題研究】平方数の差〜連続する奇数の和

こんにちは。TANUKIです。

今回は「平方数の差」についての問題に触れていきます。

例題

ある1以上の整数を2回かけた数を【　】で表すとします。例えば【5】＝25 【x】＝16ならx＝4となります。このとき

【A】−【B】＝45となるA、Bの組み合わせをすべて求めなさい。

難しめですが、最難関校を目指すならぜひ身につけたい問題です。

まず知識として持っておきたいのが「□番目の平方数は必ず1から連続する□個の奇数の和で表すことができる」ということです。

49なら7×7なので7個の奇数の和

1、3、5、7、9、11、13の和が49です。

【A】はA番目の平方数なので1からA番目の奇数まで足した数になります。

【B】も同様に1からB番目の奇数まで足した数になります。

ということは【A】−【B】はB+1番目からA番目までの奇数の和になるのです。

今回これが45。

連続する奇数の和で表せばいいので

①15を中心とした13+15+17

②9を中心とした5+7+9+11+13

の2つ

忘れてはいけない

③45だけ

も含めて3通りを考えて終了です

①13は7番目の奇数。これがB+1番目なのでBは6。このときAは9になります。平方数2つは36と81。

②5は3番目の奇数。Bは2。このときAは7になります。平方数は4と49

③45は23番目の奇数。Bは22。このときAは23になります。平方数は484と529

いかがでしょうか。

因数分解を使わなくても解けてしまいましたね。

平方数は奇数の和で表せること、それを考えると平方数の差がわかること。最上位生は定番問題にしておきたいです。