中学受験算数勉強方法

小学生でもできる 平方数の和の公式を導出する方法

2021/12/30
 
この記事を書いている人 - WRITER -
大手中学受験塾で主に算数の講師をしています。算数以外にも受験生の学習方法や進路相談などもしております。それらの業務で経験していることをお伝えしていきます。

平方数の和の公式

平方数の和の公式はこちらです。

高校の数学、数列でΣの計算をするときに覚えた記憶がありますね。

高校生風に書くとこうです。

×と÷を省略するだけで覚えやすくなるので丸暗記してしまっていたなぁと今になると後悔しています。

中学受験でこれを知らないと解けない問題はほぼないと思いますが、導出させる問題はちょくちょく見かけます。

方法はいくつかあるのですが私が一番わかりやすいと思うものを紹介します。

平方数の和を三角形上に並べて表現する

この図は1が1個、2が2個、3が3個、4が4個なので全て足すと4までの平方数の和になります。

これらの和を考える際に、同じ形で向きだけ変えたものをあとほかに2つ用意して3つならべます。

同じ場所の数を足してみてください。

すべての場所が9になりますよね。

一番上の数で計算すると1+4+4=9ですが、どの場所もそれぞれ式は違えど9になります。

あとは9がいくつあるか考えるだけですね。

ここには10個とすぐわかりますが、この10とは1+2+3+4なので4までの三角数になります。

9×10=90

ただしこれは3つの図形だったことを忘れないようにしましょう。

90÷3=30です。

実際に1+4+9+16=30ですよね。

このように考えるともっと大きな数でも平方数の和を計算で求めることができます。

平方数の和の公式を一般的な数字でつくる

確認が簡単な4で試しましたが一般に□×□までの和として考えます。

先ほどのように、三角形状に並べたとき、一番上の数字は、一つは1ですが、残り2つは□になります。

そのためすべての同じ場所の和はそれぞれ1+□+□になるはずです。

一方、一つの三角形入っている数字の個数は□番目の三角数と同じになります。

1+2+3+…+□

等差数列の和なので(1+□)×□÷2で求められます。

ということで平方数の和は最後に÷3を忘れないように計算すると

(1+□+□)×(1+□)×□÷2÷3 という形になります。

この形で覚えるのは大変そうです。

今のように導出しても慣れれば1、2分なのでそれでもいいかなとは思います。

出し方は一度経験しておいて、次出てきたら自分で作ってみるが中学受験生には現実的ですね。

その他のおすすめ

算数のポイントはこちら

このブログでは算数のポイント中心に毎日発信しています。

今回のようなかなりマニアックなものからもっと基本的な学習方法まで様々なので、算数の学習に興味がある方はぜひご覧下さい。

公開しているnote

無料アプリnoteを使って算数プリントも発信しています。

なかでもおすすめは計算の工夫でこちら【無料有り】計算の工夫を極める問題集がついに完成しました。【半額有り】から閲覧可能です。

その他にも無料で使えるものも多いのでぜひお試し下さい。

超基本から国語の読解の仕方を勉強しなおす方法。期間限定で無料です。

算数は得意だけど国語は……という方におすすめのコンテンツです。

私の提供するサービスではないのでいつ公開が終わるかわかりません。

現在は無料登録で見られますのでお早めにどうぞ

この記事を書いている人 - WRITER -
大手中学受験塾で主に算数の講師をしています。算数以外にも受験生の学習方法や進路相談などもしております。それらの業務で経験していることをお伝えしていきます。

- Comments -

メールアドレスが公開されることはありません。

Copyright© 受験算数を攻略する , 2021 All Rights Reserved.