灘中算数 場合の数応用問題の大事な視点 2021年 一日目３番
灘中算数 応用問題に大事な視点 『言い換える』
2021の各位の数の和は２+０+２+１＝５です。このように、各位の数の和が５である４桁の整数は、2021を含めて全部で□個あります。そしてそれらの整数の中で2021は小さい方から数えて□番目です。
調べ上げではなく計算で解くための視点を獲得したいです。
挑戦してみてください。
この問題、組み合わせを調べ上げて並び変えるという方法もありますが、今回の問題文の最大の特徴「各位の和が５になる」というところに注目します。
○が５つ、｜が３つあります。
これを並べ替えるとその並べ方は何通りありますか。
元の問題はこの問題とかなり近い問題です。(少し違いますが後述します)
○○｜○○｜｜○なら２２０１
○｜○｜○｜○○なら１１１２
といった具合に和が５で分けるという話を並べ替えに言い換えることができます。
算数ではこのように『問題の内容を解釈して別の形で言い換えること』が大切になります。
特に場合の数はこの視点はよく使いますね。
ただこの理論１ヶ所おかしいところがあります。
｜○○｜○｜○○という場合は２０２に対応してしまいます。
今回４桁の数という規則なので一つ目は○で固定です。なら残りの６つを並べ替えましょう。
○が４つ、｜が３つの並べ方は何通りありますか。
灘受験生ならあとは計算一発です。
今度は並べ方を組み合わせに言い換えます。
○が４つ、｜が３つを並べ替えるとき、○の位置は左から数えて何番目と何番目と何番目と何番目になるかその組み合わせは何通りありますか。
１番目と４番目と５番目と７番目なら○｜｜○○｜○です。
これは最初に固定された○と合わせて２０２１に対応するわけです。
７つから３つ選んだらいいので7×6×5÷6＝35通り となります。(ここは説明省略します。)
長々説明しましたが、問題の特徴をつかみ、場合の数の言い換えの仕方がわかっていると、最後の計算をいきなり書いて終了なので問題読み始めて１分くらいで解けてしまう問題です。
後ろの□です。
千の位が１になる場合の数を計算で求めて、千の位２からは数えます。
2021は千の位２の中では、2003、2012、の次 ３番目ですね。
千の位が１のときは次のような問題と同じです。
○５つと｜３つを並べ替えます。
最初の２つは○｜のとき残りの６つの並べ方は何通りありますか。
千の位が１なので残りで和が４になるように並べ変えましょうということですね。
６つある記号のうち｜の位置は２つになるので6×5÷2＝15通り
2021は千の位が２のもののうち３番目なので
15+3＝18通り
初めて見る問題を解決しようとするとき大切なのはその問題の特徴をつかむことです。
今回であれば和が５になるという部分が最大の特徴でした。
特徴が掴めたら、和が５になるという部分を並べ替えや組み合わせの考え方に言い換えていきました。
文の意味を解釈して別の言葉や式に置き換えること、『つまり○○と同じ意味ですね』という視点です。
ぜひ意識してみてください。
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