中学受験算数勉強方法

中学受験 「 ニュートン算 牧草 の問題 」も「 ニュートン算 窓口 の問題 」 も 旅人算と比がわかっていると線分図なしで瞬殺できてしまう

2021/11/12
 
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大手中学受験塾で主に算数の講師をしています。算数以外にも受験生の学習方法や進路相談などもしております。それらの業務で経験していることをお伝えしていきます。

「 中学受験 ニュートン算 問題 」の中でも特に有名な 牧草 の 問題 と 窓口 の 問題 。どちらも線分図などで整理して解くのが一般的ですよね。でも実は 線分図なしで瞬殺する魔法のような 解法があります。

「 ニュートン算 」に苦労していた受験生からしたら嬉しい限りではないでしょうか。そのために必要な知識技術は「 旅人算 」と「 速さと比 」の解法です。

ニュートン算 牧草 問題

ニュートン算 牧草 問題 とは次のようなものです。

毎日一定のペースで草が増えていく牧草地に牛を何頭か放します。50頭放すと100日で草がなくなりますが、80頭放すと40日で草がなくなります。ただし元々牧草地にいくらかの草が生えていて、牛1頭が1日に食べる草の量は一定として考えます。

(1)1日に増えていく草の量は何頭の牛が1日に食べる草の量と同じですか

(2)元々生えていた草は、何頭の牛が1日に食べる草の量と同じですか

(3)130頭放すと草は何日でなくなりますか

上記の様な問題を ニュートン算 といいます。 その 牧草の問題 ですね。これは易しい出題で、(3)しかないことも多いです。この問題を「 旅人算 」と「 速さと比 」で瞬殺します。

(解説)

言われてみると当たり前の関係ですが

(80頭投入時の一日に減る草の量)×40

(50頭投入時の一日に減る草の量)×100

この2つは等しくなります。

牛一頭が一日に食べる草を1、一日に増えていく草を□とすると

(80-□)×40=(50−□)×100 これを=200とすると

80-□:50−□=5:2になります。

左辺は差が30なので50:20と決まります。 

□=30頭分(一日に増える草)

(80−30)×40=2000頭分(最初の草)

2000÷(130-30)=20日 (かかる日数、つまり答え)

このように「 旅人算 」と「 速さの比 」を理解していればあっという間に(3)まで解き終わります。

ニュートン算 窓口 問題

下の問題が基本形です。

ある施設の窓口に開店前から行列ができています。窓口を9時に開けますがその後も行列には一定のペースで人が加わり続けます。

窓口を2つ開けた場合、10時40分に処理し終わります。窓口を4つ開けた場合9時20分に処理し終わります。

窓口を14個開けた場合に処理し終わる時刻をもとめなさい。

今回は瞬殺が伝わるように説明はあとで加えますね。

解答

(2-□)×100=(4−□)×20=100とすると

1:5=0.5:2.5

なので□=1.5個分

(2−1.5)×100=50

50÷(14-1.5)=4

9時4分となります。

解説

(2-□)×100=(4−□)×20=100とすると

旅人算の考え方で、一つの窓口が1分で処理できる人数を1、並んでいく人数を□として、1分間に減る量を考えています。

1:5=0.5:2.5

時間をかけたら減った人数=最初に並んでいた人数になるので、積が等しい関係から逆比になります。

なので□=1.5個分

あとは差が等しくなるように比を調節すれば□が求められます。

(2−1.5)×100=50

比のままかけ算をすれば並んだ人数も比であらわせます。

50÷(14-1.5)=4 9時4分となります。

最後は、1分あたりにどれだけ減るかがすぐわかるので、旅人算で終了です。

文字にすると長いですが、問題の中身が頭に入っていれば計算は1分ぐらいで終わります。

普段から線分図を描くことが好きな人は線分図で解いたらいいと思いますが、ニュートン算くらいしか線分図を使わないというのはバカらしいです。そういう方はぜひこの方法でさくっと解いてください。

ちなみにニュートン算は「 3人の旅人算 」と全く同じです。こちらのパターン8です。

いかがでしたでしょうか。ニュートン算に困っているお子様にはぜひこの解法を見せてあげてください。

理解できると世界が変わるレベルです。

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