円とおうぎ形のポイント

こんにちは。TANUKIです。今回は中学受験算数の中でも、苦手な子、嫌いな子が多い曲線図形、円とおうぎ形についての記事です。

図形問題のコツはコチラの記事〈図形は定義と根拠が大事という話〉 でも書いた通り、定義と根拠です。この２つを意識することで苦手克服していきましょう。

円の定義
円とはどんな図形でしょうか。丸い図形とか角がない図形という答えが多いです。

円とは中心からの長さが等しい点のあつまりです。

中心から円までの距離がすべて等しくそれを半径といいます。これが円のすべてです。なので円を使った問題は半径がポイントになることがほとんどで、特に円と他の図形の交点に補助線を引くことが解答の糸口になる問題が圧倒的に多いです。また２つ半径を引けば、それが直径でない限りは二等辺三角形が完成します。円上の二等辺三角形はよくある形なので注意ですね。

円周率の定義
円周率ってなんですかと聞くと3.1415……と答えてくれます。しかしそれは結果の話で円周率の定義ではありません。

円周率とは円周の長さが円の直径の何倍か

3.14……という数字は昔のえらい人が発見したわけです。これは算数で求められるものではありません。四角形や六角形にとじ込めて3.14という値でも矛盾がないことを確認することが出来るくらいです。

おうぎ形の定義
おうぎ形とは円を2つの半径で切り分けた形です。ポイントは2つの半径での部分です。円の中心とずれていたらそれっぽく見えてもおうぎ形ではありません。中心を通らない直線で切ってしまうと、長さが等しくなくなってしまいます。

おうぎ形の定義とともに中心角という言葉、弧という言葉も覚えないといけません。これは言葉の問題なのでしっかり覚えましょう。

円周を求める式
円周率の定義から明らかです。円周率とは円周の長さが直径の何倍かをあらわしたもの。だから直径×円周率＝円周

根拠を明確にしましょう。円周率がなにか知っていれば円周の公式は、円周率の定義そのものだとわかります。

おうぎ形の弧を求める式
おうぎ形は円を切り分けた形なので弧の長さも円周を切り分けた長さになります。いくつに切り分けたかは中心角を見ましょう。

中心角360度が円なのでそのうちのどれだけかをチェックです。
90度なら1/4
60度なら1/6
この分数を先に調べてしまえば簡単です。

おうぎ形の弧の長さを出す式は
円周×分数

こんな風にシンプルに考えると公式わすれといった間違いはしなくなります。根拠を大事にした勉強方法とはこういうことです。

またおうぎ形のまわりの長さを求める問題には注意が必要です。弧と周りの長さは違います。周りの長さというときには半径も入ることに気を付けましょう。

円の面積を求める式
円の面積もまた根拠が難しいですが、円を分割して並べて長方形にするイメージがいいかと思います。

一辺が半径、もう一辺が円周の半分の長さをもつ長方形を考えて
円の面積＝半径×円周÷2

円周は直径×円周率なので直径を÷2して半径にすると有名な形

円の面積＝半径×半径×円周率
になります。

半径を二回かけたり、直径ではなかったりするので円周とごっちゃになりやすいです。リズムで覚えられそうですが、間違えそうになったら単位付きで考えるといいかもしれません。長さの単位である半径を２つかけると面積の単位になります。

またすこし難しい形として半径が求められない円の面積があります。円の公式で本当に必要なのは半径ではなく半径×半径です。半径がわからない場合は半径×半径で面積が求まる正方形を探しましょう。

おうぎ形の面積を求める式
弧と同じようにおうぎ形が円のどれだけ分にあたるかをだしたらあとは円の面積と同じです。

おうぎ形の面積＝円の面積×分数

おうぎ形の面白い話として、三角形みたいな公式でもちゃんと出すことができます。おうぎ形の直径を底辺、弧の長さを高さのように考えて

半径×弧の長さ÷2

これでも面積を出すことができます。

図形は苦手が増える分野です。
苦手克服のため、また得意な子もさらに伸ばしていく一番の基本となる「定義」と「根拠」を大事にした学習方法を心がけましょう。