約数の個数を研究する
こんにちは。TANUKIです。
今回は約数の個数の記事です。
まず確認ですが、約数とは「その数を割りきれる整数」のことです。
10なら1、2、5、10の4個
12なら1、2、3、4、6、12の6個
といった感じです。
その中でもまず押さえていないといけない基本的なものは
・約数が2つの数
・約数が偶数個の数
・約数が3つの数
あたりでしょう。
「約数が2個」
素数は約数がその数と1だけなので約数が2個になります。反対に約数が2個の数はその定義から素数であると言えます。
「約数が1個」
ちなみに1は素数ではありません。1でしか割れないので約数は1個ですね。約数が1個の数は1だけです。
「約数が奇数個」
約数はペアで探していくと見つけやすいですよね。なので基本的には偶数個あるんです。でもたまに奇数個の場合がありますね。ペアを探していくと同じ数同士でペアを組むことになる16みたいな数です。16の約数は1、2、4、8、16の5つです。約数が奇数個になる数はこのように4×4のように同じ数の積で表される平方数になります。
「約数が3個」
ちなみに約数が3個だと、平方数をつくる数の他に1とその数だけになるので素数を二回かけた数になります。
9や25ですね。
ここまでは5年生の間に押さえておきたい約数の個数の知識になります。
ここから応用編です。
「約数が4個」
【Ａ×Ｂ型】
約数が4個の数といえば6、10、14、15などです。どういった数が約数が4個になるかわかりますか？
秘密は素因数分解にあります。
6＝2×3 10＝2×5 14＝2×7 15＝3×5
のようにこれらの数は素数二つの積になっています。その数自身と1の他に2つの素数で割れるわけです。
なので例えば7×13＝91も約数が4個
11×19＝209も約数が4個になるのです。
【Ａ×Ａ×Ａ型】
約数が4個の数は他にもあります。8や27など同じ素数を三回かけた数です。1とその数自身の他に、素数と素数の平方数で割ることができます。約数が4個の数はこのパターンもあります。
「ある数の約数の個数を考える」
例えば12＝2×2×3の約数の個数について
2で2回3で1回割った12
2で2回3で0回割った4
2で1回3で1回割った6
2で1回3で0回割った2
2で0回3で1回割った3
2で0回3で0回割った1
が12の約数になります。
2の選択肢が3つ、3の選択肢が2つあるので3×2＝6個
と約数の個数を計算で求めることができるのです。
他の例
28＝2×2×7
2が3つ7が2つの選択肢なので3×2＝6個
108＝2×2×3×3×3
2が3つ3が4つの選択肢なので3×4＝12個
と約数の個数を求めることができます。
発展編(研究)
「約数の個数で分類する」
・約数6個(32、12、18、20など)
Ａ×Ａ×Ａ×Ａ×Ａ型
Ａ×Ａ×Ｂ型
・約数8個(128、24、54、30など)
Ａ×Ａ×Ａ×Ａ×Ａ×Ａ×Ａ型
Ａ×Ａ×Ａ×Ｂ型
Ａ×Ｂ×Ｃ型←約数の個数が8以上の4の倍数になると3種類の素数の積の形もある
・約数15個
Ａを14回かけた型
Ａ×Ａ×Ａ×Ａ×Ｂ×Ｂ型
どちらの型も約数が奇数個なので平方数になる。上はＡを7回かけた数の平方数、下はＡ×Ａ×Ｂ型の平方数になる。
約数の個数が複雑な合成数になるとそのぶんパターンも増えることになる
・約数12個
Ａを11回かけた数(2048など)
Ａを5回Ｂを1回かけた数(96、1215など)
Ａを3回Ｂを2回かけた数(108、392など)
ここまで考えるのは興味があったらでいいですが、応用が効くので知っておいて損はないかなといった内容でした。
～今回の育テ(難関)で出ていたので扱ってみました。
