百五減算【問題研究】

こんにちは。TANUKIです。

今回は「百五減算」と呼ばれる中学受験でも使えそうなテーマを研究しています。

百五減算とは次のようなものです。

3でわると1あまり、5でわると2あまり7でわると3あまる数を求めなさい

ここには3つの条件があります。

①3でわると1あまる

②5でわると2あまる

③7でわると3あまる

②から考えます。

5でわると2あまる数のうち3でも7でも割れる数を考えます。

3×7は5で割ると1あまるので

3×7×2が見つかりました。

③についても同様に7で割ると3あまる数のうち3と5で割りきれる数を考えます。

3×5は7で割ると1あまるので

3×5×3が見つかりました。

①について

3で割ったら2あまる数のうち5でも7でも割りきれる数を考えます。

5×7は3で割ったら2あまる数です。

5×7×2をすることで3で割ったら1あまる数にできます。

以上より

5×7×2＋3×7×2＋3×5×3＝157

は

①3で割ったら1あまる

②5で割ったら2あまる

③7でわったら3あまる

数になります。

3、5、7の最小公倍数は105なので

157－105＝52が条件を満たす最小の自然数になる。

以上が百五減算です。部分部分を考えていくことによりあまりを考えるのは面白くないでしょうか。3、5、7以外でも使えます。

百五減算の利用

4で割ると1あまり、5でわると3あまる整数

5は4で割ると1あまる数

4×2は5でわると3あまる数

この和は条件をみたす数になる。

5＋8＝13

10でわると3あまり7でわると4あまる数

7×3は10でわると1あまる数

7×3×3は10でわると3あまる数

10×3は7でわると2あまる数

10×3×2は7でわると4あまる数

7×3×3＋10×3×2＝123

123は条件をみたすが10と7の最小公倍数70引いた数53も条件をみたす。

3で割ると2あまり、4で割ると3あまり5で割ると2あまる数

4×5は3でわると2あまる

3×5は4でわると3あまる

3×4は5でわると2あまる

そのまま足す

20＋15＋12＝47

18でわったら5あまり、19で割ったら1あまる数

19は18で割ったら1あまるので

19×5は18で割ったら5あまる数

18×18は19で割ったら1あまる数

95＋324＝419

18×19＝342

419÷342＝1あまり77

77が条件をみたす数。

いつでも使える裏技みたいですが、ふつうの小学生には使えなさそうです。偏差値65以上向けかな？