倍数判定法 問題 をマスターして中学受験算数での得点力を上げる方法 無料問題プリント付き
この記事の内容
倍数判定法とは
ある整数が特定の整数の倍数かどうかを割り算しなくても判断できる方法です。
２の倍数…１の位が０、２、４、６、８になる
５の倍数…１の位が０か５になる
３の倍数…各位の和が３の倍数になる
４の倍数…下２桁が４の倍数になる
９の倍数…各位の和が９の倍数になる
８の倍数…下３桁が８の倍数
11の倍数…『偶数番目の位の和』と『奇数番目の位の和』の差が０か11の倍数になる
順番は重要度順
２と５と３は特によく使います。
素数かどうかの判定という意味では11も便利ですが、テキストなどで紹介されていないことも多いので知らないまま受験を終える受験生も多そうです。
倍数判定法が中学受験算数の得点力をどう上げるか
倍数判定法を普段から使うようにするとミスが激減します。
たとえば19×9という計算があったときに間違えて161と答えてしまったとします。
普段からすぐさま1+6+1=8 をして9の倍数になっているか確かめている子は間違いに気がつくことができます。
少し複雑な例だと、588+726=1304 という計算式は一目で間違っているとわかります。
588は４の倍数、726は４の倍数ではない数ですが、この二つを足すと4の倍数にはならないはずです。
それが1304という４の倍数になっているのでおかしいとわかるのです。
このように普段から計算結果を確かめるときに倍数を意識しているとミスは激減します。
倍数判定法の問題例と無料問題プリント
倍数判定法を意識するには、問題で練習するのが一番です。
364 648 126 482 729
上記の整数について次の問いに答えなさい
(１)２の倍数をすべて答えなさい
(２)３の倍数をすべて答えなさい
(３)４の倍数をすべて答えなさい
(４)６の倍数をすべて答えなさい
解答
(１)２の倍数は一の位を見たらいい。364 648 126 482 が２の倍数
(２)３の倍数は各位の和を計算する。左から13 18 9 14 18なので648 126 729が３の倍数
(３)４の倍数は下2桁を見たらいい。64 48 は４の倍数だが、26 82 29 は４の倍数でないので、364 648
(４)６の倍数は(１)と(２)の両方を満たす数をあげればいいので648 126が６の倍数になる
無料問題はこちら
https://note.com/juken3su/n/n194ab0d358fb
こちらのURLで無料アプリnoteにて公開しています。
問題練習をしないと子どもは聞き流しているということがあります。
ぜひ倍数判定の練習に使ってください。
解答と追加の問題は下記URLからご覧いただけます。
https://note.com/juken3su/n/n194ab0d358fb
倍数判定法それぞれの証明はこちら
ここで説明する『理由』は難関校では必須です。
必須ではありますが、初学時に大事なことではありません。
最初は無理せずわかるところまでで構いません。
４桁の整数abcdを考える。
1000×a+100×b+10×c+dがそれぞれの倍数になる条件を考えます。
２の倍数判定法
1000×a+100×b+10×c+d
= 10×(100×a+10×b+c) +d
上のように式変形すると下線部分の式は１０の倍数なので２の倍数になります。
dつまり１の位が２の倍数(または０)なら全体も２の倍数になりますね。
この例のように式変形を利用して倍数に関わる部分を取り出したものが倍数判定法です。
５の倍数判定法
1000×a+100×b+10×c+d
= 10×(100×a+10×b+c) +d
２の場合と全く同じです。
下線部分は10の倍数なので５の倍数でもあります。
dつまり１の位が５の倍数(または０)なら全体も５の倍数とわかります。
３の倍数判定法
1000×a+100×b+10×c+d
=999×a+a+99×b+b+9×c+c+d
=9×(111×a+11×b+c)+a+b+c+d
1000×aを分配法則で999と1にわけることにより９という数を作り出しています。
これによって下線部分は9の倍数なので３の倍数になります。
aとbとcとdの和が３の倍数なら全体も３の倍数になるというわけです。
９の倍数判定法
３のときと作り方は全く同じです。
1000×a+100×b+10×c+d
=999×a+a+99×b+b+9×c+c+d
=9×(111×a+11×b+c)+a+b+c+d
1000×aを分配法則で999と1にわけることにより９という数を作り出しています。
これによって下線部分は9の倍数になります。
aとbとcとdの和が９の倍数なら全体も９の倍数になるというわけです。
４の倍数判定法
1000×a+100×b+10×c+d
= 100×(10×a+b)+10×c +d
今度は100が４の倍数であることを利用します。
下線部分は100の倍数になるので4の倍数。
残った10×c+dが４の倍数なら全体も４の倍数です。
出番はほとんどないですが同じ理由で25の倍数も実は下２桁を見ればわかります。
20の倍数や50の倍数もですがこちらはもっと当たり前ですね。
８の倍数判定法
1000=125×8を利用します。
1000×a+100×b+10×c+d
=8×125×a+100×b+10×c+d
1000の位以上の数は1000で割り切れるので8で割り切れます。
100×b+10×c+dが８の倍数ならいいので下３桁を見ればいいとわかります。
１１の倍数判定法
かなり複雑ですが11や99、1001や9999が11の倍数になることを利用します。
今回はもう一桁増やして５桁の数eabcdで説明します。
10000×e+1000×a+100×b+10×c+d
10000×e+1000×a+100×b+10×c+d
=9999×e+e+ 1001×a-a+99×b+b+11×c-c+d
=11×(909×e+91×a+9×b+c)+e-a+b-c+d
下線部分は11の倍数なので e-a+b-c+d が11の倍数(または0)なら全体も11の倍数になります。
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