中学受験算数勉強方法

【問題研究】整数を1から順番に書いて◯が何回登場したか考える問題

 
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TANUKI
大手中学受験塾で主に算数の講師をしています。算数以外にも受験生の学習方法や進路相談などもしております。それらの業務で経験していることをお伝えしていきます。

こんにちは。TANUKIです。

今回とりあげるのはこんな問題です。

「1、2、3、……9、10、11……99、100、101……と順番に整数を書いていきます。」

(1) 1000まで書いたときに、3という数字は全部で何回書きましたか

(2) 2019まで書いたときに、1という数字は全部で何回書きましたか

(3) 150回目の3が含まれる整数はいくつですか

解答

000~999までの1000個の数を考える。

(実際には015は15と表記するため0の個数が変わってしまうが、0以外は変わらないので今回の問題では答は変わらない。同様に1000を000と表記しても3の個数は変わらない。)

この1000個の数はすべて3桁なので合わせて3000個の数字が存在する。

またこの3000個の数は各位が0~9までの10個の数が同じ回数ずつ登場する。

ゆえに3000÷10=300回

これをベースに考えていく

(2) 2019まで書いたときに1という数字は全部で何回書きましたか

解答

1000までに300+1 回(1000の分)

1999~2000までに300+999回(2000以外)

2001~2019まで

十の位に10回 一の位に2回

以上より

300+1+300+999+12=1612回

もっと面倒なパターン

(3)150回目の3が含まれる整数はいくつですか。

さきほどと同じように考えていく

解答

00~99までには100×20=200個の数字がある。200÷10=20で3は20個

100~199 20個

200~299 20個

300~399 20+100=120個

ここまでの合計が20×3+120=180なので300台に150個目の3が含まれることが分かる。

300~309

303 が2つ、それ以外は1つずつ含まれるので11個

329までで20×3+11×3=93個

330~339

百の位に10個、10の位に10個、1の位に1個で21個

339までで114個

349までで125個

359までで136個

369までで147個

370 371 372

※聞かれる整数が0の場合は

001~009まで18個、010~099まで90個

の合わせて108個の0を引く必要が出てくるので注意。

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