【問題研究】整数を1から順番に書いて◯が何回登場したか考える問題

こんにちは。TANUKIです。

今回とりあげるのはこんな問題です。

「1、2、3、……9、10、11……99、100、101……と順番に整数を書いていきます。」

(1) 1000まで書いたときに、3という数字は全部で何回書きましたか

(2) 2019まで書いたときに、1という数字は全部で何回書きましたか

(3) 150回目の3が含まれる整数はいくつですか

解答

000～999までの1000個の数を考える。

(実際には015は15と表記するため0の個数が変わってしまうが、0以外は変わらないので今回の問題では答は変わらない。同様に1000を000と表記しても3の個数は変わらない。)

この1000個の数はすべて3桁なので合わせて3000個の数字が存在する。

またこの3000個の数は各位が0～9までの10個の数が同じ回数ずつ登場する。

ゆえに3000÷10＝300回

これをベースに考えていく

(2) 2019まで書いたときに1という数字は全部で何回書きましたか

解答

1000までに300＋1 回(1000の分)

1999～2000までに300＋999回(2000以外)

2001～2019まで

十の位に10回 一の位に2回

以上より

300＋1＋300＋999＋12＝1612回

もっと面倒なパターン

(3)150回目の3が含まれる整数はいくつですか。

さきほどと同じように考えていく

解答

00～99までには100×20＝200個の数字がある。200÷10＝20で3は20個

100～199 20個

200～299 20個

300～399 20＋100＝120個

ここまでの合計が20×3＋120＝180なので300台に150個目の3が含まれることが分かる。

300～309

303 が2つ、それ以外は1つずつ含まれるので11個

329までで20×3＋11×3＝93個

330～339

百の位に10個、10の位に10個、1の位に1個で21個

339までで114個

349までで125個

359までで136個

369までで147個

370 371 372

※聞かれる整数が0の場合は

001～009まで18個、010～099まで90個

の合わせて108個の0を引く必要が出てくるので注意。