平均の問題に絶対必要な二つの視点

こんにちは。TANUKIです。今回は平均についての記事です。平均の問題といえば平均点を出したり値段を出したり、少しハイレベルなところでは食塩水の濃度で使ったりします。

平均とはなんですか？

次の2種類を言えるようにしましょう。
1、合計を全体で割って均等にしたもの

2、全体の差をなくしたもの(仮平均の

考え方)

1のキーワードは「合計」です。平均を出すためには合計を出し、それを均等に配り直したらいいです。クラスの平均点ならクラス全員の点数をいったんあつめて全員に配り直したとしたら何点という感じ。この考え方の応用例は等差数列の和の公式です。
(最初の項＋最後の項)×いくつあるか÷2の式は
(最初の項＋最後の項)÷2×いくつあるか
とすることもできますが、これは完全に平均の式です。実は等差数列は平均の考え方を使うことができるのです。似た例でこんな問題にも使えますね。

例
一郎、次郎、三郎はあわせて30000円お金を持っています。一郎は次郎より2500円多く、三郎は次郎より2500円少ないです。次郎はいくら持っていますか。

解
三人のお金は差2500の等差数列。次郎が出したいなら次郎は等差数列のちょうど二番目＝真ん中＝平均になる。ゆえに30000÷3＝10000円

2のキーワードは「差」です。差の部分を平均して考えるだけで済むので全体を考えるより明らかに計算が減ります。また1だけでは解けない問題も存在します。面積図や天秤図が使われるのもこの考え方からです。

例
男22、女18人のクラスがいます。
あるテストの男子の平均点は97点、女子の平均点は93点です。平均点はいくつですか。

解1 差の平均
男子は女子より一人につき4点多くとっている。4×22＝88
この88点をクラス全員に再分配すれば平均点になる。88÷40＝2.2
93＋2.2＝95.2点

解2 差の比を考える
男子と女子の人数がそれぞれ22人:18人＝11:9であることから男子の点数の価値は女子より少し高くなる。男女の平均点それぞれの点数より、平均点は男子寄りになりその差の比は9:11になる(面積図を書いてもよいが、女子が増える点数は9×□、男子が減る分は11×■になり、この二つは等しいので□:■＝11:9になる)
この二つの比の和20＝97-93＝4なので
4÷20×11＋93＝95.2となる。

平均は単体でというよりいろんな文章題に結び付いてきます。しっかり二つの方法をおさえましょう。

まとめ
平均の二つの視点
1、合計を出して全員に分配
2、差の合計を出して全員に分配