正多面体は5種類しかない

正多面体とは一種類の正多角形だけで構成される立体のこと。正多角形は無限に存在するけれど、正多面体は5種類しか存在しない。

立方体、正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

これら五種類の存在と、そのそれぞれがどんな形かということは答えられるようにしておかないといけない。

そのために頂点での面の集まり具合という考え方が非常に大事になる。

平面が集まって立体を作る場合「１つの頂点に3面以上の面が集まる必要がある」。またそのときに「集まる面の角度の和は360度より小さくないといけない」。考えてみると２つとも当たり前のことだがこれがとても重要になる。

3面以上が集まって360度未満の形になるなら360÷3＝120
１つの角は120度未満になる。正六角形がちょうど120度なので正六角はギリギリ正多面体にならない形といえる。

ゆえに正多面体の面の形は
正三角形、正方形、正五角形に絞られる。

ここで正三角形は6つ集まると60×6＝360度で平面になってしまうので5つまでしか集まれない。正方形、正五角形に関しては4つ集まると360度以上になるので3つまでしか集まれない。

ゆえに１つの頂点に
正三角形が3つ集まった形(正四面体)
正三角形が4つ集まった形(正八面体)
正三角形が5つ集まった形(正二十面体)
正方形が3つ集まった形(立方体)
正五角形が3つ集まった形(正十二面体)

の五種類しかあり得ないといえる。

頂点の数を考えることで、覚えにくい正十二面体と正二十面体の面の形は覚えられるのだが、その話はまた別の記事に。