こんにちは。TANUKIです。
今回は数の単元のうち規則性に登場する数列、その中でも最もよく出題される等差数列についての記事です。数列だけでなく場合の数や整数の問題など数える問題はどれもそうですが、いってしまえば「上手く数えましょう」ということです。
等差数列やその和など、式を覚えたら確かに簡単にできるのですが、公式ありきの学習にならないよう注意してください。
公式暗記は基本的なことがすべて理解できた上でのテスト中の時間を稼ぐためのテクニックに過ぎません。とにかく理由説明をできるようにしましょう。
等差数列でしたら、まずはかけ算ではなく足し算だけをつかって式を書いていくと本当の理解が確認できます。
例1
次の数列の100番目はいくつ？
2 5 8 11 14 17 20……
2＋3＋3＋3＋3＋……＋3=
を計算するので3を99回足したらいい。
ここで初めてかけ算を使う。
2＋3×99=299
例2
次の数列で100は何番目？
2 9 16 23 30 37 44 51 58……100
2＋7＋7＋7＋7＋7＋……＋7=100
7を何回足したら100になるか考える。
100－2＝98
98÷7＝14 14回足し算をしている。
1＋14＝15番目
といった具合。式を覚えるのではなくやり方を説明できるようにしましょう。
例3
例1の数列を最初から100番目まで足した和を求めよ。
和の数列も公式があり、これも覚えてしまえといえばすぐなんですが、意味を考えることで忘れないようにするのが理想です。
解 平均を使った解法
等差数列は一番最初と一番最後二番目と最後から二番目というように和が等しくなっていくので、数列の平均がちょうど真ん中の数になります。
例として
12 13 14 15 16なら平均は14
23 24 25 26 なら平均は24.5です。
すべて同じにした平均にいくつあるかをかけ算したら簡単に求められます。ということで
(2＋299)÷2×100＝15050
ただしこの計算だと今回のように÷2をした時点で小数になることがあるので最後に÷2をする方が計算しやすいです。数列の和は二つの数列を用意する台形の公式のようにも説明ができますが、平均と絡めたほうがわかりやすいと感じてます。
以上、等差数列の話でした。
公式を覚えるのではなくしっかりと理解して学習していきましょう。