平方数の和の公式
平方数の和の公式はこちらです。
高校の数学、数列でΣの計算をするときに覚えた記憶がありますね。
高校生風に書くとこうです。
×と÷を省略するだけで覚えやすくなるので丸暗記してしまっていたなぁと今になると後悔しています。
中学受験でこれを知らないと解けない問題はほぼないと思いますが、導出させる問題はちょくちょく見かけます。
方法はいくつかあるのですが私が一番わかりやすいと思うものを紹介します。
平方数の和を三角形上に並べて表現する
この図は１が１個、２が２個、３が３個、４が４個なので全て足すと４までの平方数の和になります。
これらの和を考える際に、同じ形で向きだけ変えたものをあとほかに２つ用意して３つならべます。
同じ場所の数を足してみてください。
すべての場所が９になりますよね。
一番上の数で計算すると１+４+４=９ですが、どの場所もそれぞれ式は違えど９になります。
あとは９がいくつあるか考えるだけですね。
ここには10個とすぐわかりますが、この10とは１+２+３+４なので４までの三角数になります。
９×10=90
ただしこれは３つの図形だったことを忘れないようにしましょう。
90÷３=30です。
実際に１+４+９+１６=30ですよね。
このように考えるともっと大きな数でも平方数の和を計算で求めることができます。
平方数の和の公式を一般的な数字でつくる
確認が簡単な４で試しましたが一般に□×□までの和として考えます。
先ほどのように、三角形状に並べたとき、一番上の数字は、一つは１ですが、残り２つは□になります。
そのためすべての同じ場所の和はそれぞれ１+□+□になるはずです。
一方、一つの三角形入っている数字の個数は□番目の三角数と同じになります。
１+２+３+…+□
等差数列の和なので(１+□)×□÷２で求められます。
ということで平方数の和は最後に÷３を忘れないように計算すると
(１+□+□)×(１+□)×□÷２÷３ という形になります。
この形で覚えるのは大変そうです。
今のように導出しても慣れれば１、２分なのでそれでもいいかなとは思います。
出し方は一度経験しておいて、次出てきたら自分で作ってみるが中学受験生には現実的ですね。
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