そもそも円すいの体積ってなに
円すいとは上のような見取図で表される立体図形ですね。
日常では工事現場においてある赤いコーンなんかです。
そもそもコーンってＣＯＮＥで円すいという意味ですが。
この円すいの体積は底面積×高さ÷３
で求められるのですが、この式、小学生ででてくるくせに小学生には証明できない式なんです。
多分、ほとんどの授業でこれは覚えるしかないよと言われていると思いますが、私は授業前に希望者だけ集めて説明したりしています。
小学生にはかなり難しいですが、十分理解している子もいるように感じるので、ぜひ参考にしてみてください。
円すいの体積の準備 回転体の体積を求める問題
(１) 円すいの公式で、次の直角三角形を、ABを軸に回転させた時に通る部分の体積を求めなさい。(円周率は3.14)
答え
30×30×3.14×30÷3=c㎥
ABを軸として回転すると円すいになります。
それがわかれば円すいの公式を使えば簡単です。
さてここからは円すいの公式を使わずに28240を求めることが目標です。
(２)次の図形をABを軸に回転させた時に通る部分の体積を求めなさい(円周率は3.14)
答え
２段ありますがそれぞれ分けて考えるとどちらも円柱になります。
上から１段目は半径15cm、高さ15cmの円柱なので
15×15×3.14×15になります。
上から２段目は半径30cm、高さ15cmの円柱なので
30×30×3.14×15になります。
和を考えたらいいので
15×15×3.14×15+30×30×3.14×15
= 15×15×3.14×15×(１+４) ←この分配法則はポイントです覚えておいてください。あとで活躍します。
=52987.5 c㎥
当たり前ですが(１)の円すいよりだいぶ大きくなりましたね。
では次
(３) 次の図形をABを軸に回転させた時に通る部分の体積を求めなさい(円周率は3.14)
答え
２段のときと同様です
４段に分けて円柱を計算し、円柱の和を求めます。
今度は正方形の１辺が7.5cmになりますね。
それぞれの半径に気をつけると
上から１段目 7.5×7.5×3.14×7.5
上から２段目 15×15×3.14×7.5
上から３段目 22.5×722.55×3.14×7.5
上から４段目 30×30×3.14×7.5
和は 7.5×7.5×3.14×7.5×(1+4+9+16)=39740.625 ←分配法則
ここまできたら電卓使ってくださいね(言うの遅い)
(２)より(１)に近づきましたね。
一気に大きくします。
(４)(２)(３)のようにAB上、BC上に同じ大きさの正方形を並べ、さらに各段一つずつ数が変わるように正方形を並べた図形を考えます。このように30段並べた図形をABを軸に回転させたとき、 通る部分の体積を求めなさい(円周率は3.14。)。ただし１+４+９+……□×□=□×(□+１)×(□×２+１)÷２÷３ となることを使っても良い。
答え
平方数の和がどうしてこのようになるのか気になって進めない人はいったんこちらを読んでから戻ってきてください。
今度は正方形の１辺が１cmになります。
それぞれの半径に気をつけると
上から１段目 1×1×3.14×1
上から２段目 2×2×3.14×1
上から３段目 3×3×3.14×1
…
上から30段目30×30×3.14×1
和を計算して 1×1×3.14×1 ×(1+4+9+……+900)
ここで平方数の和が必要になります。
30×(1+30)×(1+60)÷2÷3=9455になるので
体積は9455×3.14=29688.7となる。
だいぶもとの円すいに近づいてきているのがわかりますかね。
ここで一般化しておきましょう。
正方形の１辺の長さは30÷□なので
になります。
一段ずつ考えて足します。
和を出すと
一段目×(１+４+９+……□×□) となるので
平方数の和を式に組み込んで
かなり複雑な式になりましたが、小学生の範囲を超えるのはここからです。
無限を考えることで円すいの体積を求める
もとの直角二等辺三角形をどんどん正方形で細かくしていくと体積は円すいに近づいていくことがわかったと思います。
であれば段数を無限に多い個数にしてやれば円すいになるはずです。
小学校でも実は円の面積を求めるときに近い方法は使っているので全員にとって無理があるわけではありません。
□を∞にしてみます。
このとき１+∞はもうそれは∞と変わらないので∞としてしまいます。
同様に∞×２+１は∞×２としておきます。∞×２は明確に大きい∞の２倍なのでここはそのままにしておきましょう。
※この下線部分の処理が小学生には未修、高校の極限ですが、話せば感覚的に納得する子もそれなりに多いです。(理解できない子の大半はすでに途中段階で脱落していると思われる)
下線部分をふまえて式を書き直すと
たくさんの無限は無事約分されます。ついでに２も消えます。
30×30×3.14×30÷３
元の円すいの式ができましたね。
『÷３ってなに』と聞かれたら『平方数の和の÷３だよ』という解答になるんでしょうかね。
円すいの体積公式の説明、大変ですがやってみると最上位の子は食いつくのでおすすめです。
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