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つるかめ算とはなにか ７パターンの問題を紹介
つるかめ算は、おそらく最も有名な中学受験の算数の問題です。
数学でいうところの連立方程式なのですが、工夫して考えることで、連立方程式よりはるかに早く正確に解くことができるという特徴があります。
例えば次のような問題です。
それぞれの問題について解説していきますが、つるかめ算について言えることとして
「複数の同じ性質の値がそれぞれいくつになるのか、そのバランスを聞く問題」です。
片方が多すぎると成立しない数値になります。
つるかめ算の解法の共通点としては「すべて一方だと仮定する」ことが大切です。
面積や規則性、表、式。どんな解き方も発想の根本は同じです。
つるかめ算 基本形
すべて一方だと仮定します。
今回はすべて商品Aとしてみると15×120＝1800円
実際との差は3800－1800＝2000円
一つの商品をAからBに変えると 40－15＝25円 高くなる
Bに変えた個数は 2000÷25＝80個
Aの個数は120－80＝40個
となります。
ポイントは すべて一方だと仮定 すること。
つるかめ算で最も大切な部分です。
つるかめ算 割りたくなる問題
こちらも同じような問題難度ですが、ありがちのパターンとして
すべて２個入と仮定したら 90÷２＝45箱 とするケースです。
この方法でもできなくはないですが、この方法をとると一気につるかめ算が複雑になります。
おすすめは「つるかめ算は一方だと仮定したらまずかけ算をする」と意識することです。
ここではすべて２個入りと仮定したら 40×2＝80個 になるはず。
実際との差は90－80＝10個
ひと箱2個入から３個入りに変更したら3-2＝１個増える
３個入りに変更したのは10÷1＝10箱
２個入りの個数は40－10＝30箱。
つるかめ算 速さ
この問題は速さです。
すべて分速60ｍで進むと仮定したときに、5400÷60＝90分としてしまうとかなり複雑になります。
おすすめは まずはかけ算をする ということです。先ほどと同じですね。
分速60ｍで75分進んだとすると4500ｍ進むことができる。
実際の道のりと比べると 5400－4500＝900ｍちがう。
1分 分速80ｍに変えると80－60＝20ｍ増えるはず。
分速80ｍで進んだ時間は900÷20＝45分
さてこの問題が他と違うのはここからです。
これで答えを45としてしまいがちです。この45は時間ですね。
そのため道のりを計算で求めるところまでして正解です。
何を求めるかの確認と、自分が求めた数字はなんなのかを常に意識することが大切です。
80×45＝3600ｍとなります。
つるかめ算 仕事
これもA君とB君が取り組んだ時間のバランスを聞いているつるかめ算の問題です。
仕事算との融合で、仕事算は全体をあらわす数値がないことが多いので、つるかめ算の条件がひとつ不足しているような感覚になりそうです。
仕事算と同じく全体を決めてから話を始めましょう。
今回は11分と16分30秒なのでキリがよくなるように全体を33個の仕事があると仮定します。
A君が１分あたりに仕事する個数は 33÷11分＝3個
B君が１分あたりに仕事する個数は 33÷16分30秒＝２個
速さと全体が数字であらわせたのであとは速さと同じです。
すべてA君なら3×12=36個
実際との違いは36－33＝3個
1分をA君からB君にすると3－2＝1個 変わる
B君が仕事をした時間は3÷1＝3分
A君が仕事をした時間は12-3=9分 となります。
つるかめ算 差
差になっても考えることは同じです。
すべて商品Bだと仮定すると 60×110=6600の差になる。
実際との差は6600－3900=2700円
1個Bの代わりにAにするとBが60円減って、Ａが30円増えるので、差は90円分縮まる。
Aの個数は2700÷90=30個
Bの個数は110−30＝80個となります。
太字がポイントです。
差は両方の値段分だけ縮まっていきます。
類題で、間違えると点数がひかれるテストや、途中で壊すと弁償させられる仕事もあります。
それらよりこの形で出された方が子供には難しく見えるようです。
つるかめ算 三種類
３種類になると答えが一通りに決まらないことも出てきます。
ただし今回のように、「AはBの２倍の数購入した」という条件があると一つに定まります。
この部分から考えます。
A２つ、B１つがセットで購入されているということは45×2＋80=170円分は必ずセットです。
すべてCを購入したとすると100×140＝14000円です。
実際との差は14000－11400=2600円です。
ここからCをABに変えていきますが、C3つをAとBのセットに変えることで金額調整します。
C３つで100×3=300円
ABセットに変えた時の差は 300－170=130円
ABセットに変えたのは2600÷130=20セット
Aの個数は20×2=40個となります。
3個ずつのセットにして交換することがポイントです。
つるかめ算 不定形
この問題は合計の個数が決まっていません。
この場合は答えが複数登場する可能性が出てきます。
不定方程式と呼ばれる問題で解き方はいろいろありますが、今回はつるかめ算に近い方法をとります。
すべてBと仮定すると 2320÷100＝23あまり20
A23個のとき2300円になる。
ひとつBに変えるごとに2280円、2260円、2240円、2220円…となるが
2220円にもうひとつAを加えれば2320円をつくることができる組み合わせが見つかる。
ということで
AB(4、20)が一つ目の答えになる。
Aの80円とBの100円の公倍数400円に注目すると、Aが5個とBが4個の値段は等しいことがわかる。
つまりAを5個増やして、Bを4個減らしても合計金額は変わらない。
以上より
(A、B)＝(4、20) (9、16) (14、12) (19、8) (24、4) となります。
つるかめ算 問題集作成しました
最後の７パターン目はつるかめ算に含めるかは微妙な問題ですが、見た目が似ているので今回はセットにしました。
これらの問題を一度解いただけで身に付いたか確認するのは難しいですよね。
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