小学校の図形単元で最後に登場する公式が円すいの公式です。
今回は円すいについての２つの公式について感覚的な覚え方をご紹介します。
この記事の内容
円すいの公式 覚えられないと困る２つの式
①側面のおうぎ形の中心角(度)
円すいの中心角を求める問題で使います。
②円すいの側面積
円すいの表面積を求める問題で使います。
こちらの形で覚える方が感覚的には簡単ですが、ここでは上の形で覚える方法を紹介します。
円すいの公式が覚えられない理由
円すいの公式がほかの図形より覚えにくいのは理由があります。
①導出までに時間がかかる
②式の形から導出過程が感覚的にわかりにくい
感覚的にわかりやすいとは
例えば
三角形の公式は底辺×高さ÷２で平行四辺形の半分なんだなとわかりやすい形をしています。
柱体の体積の公式は底面積×高さですが、底面が上に積み上がっていくイメージと公式の形が一致しています。
それに対して円すいは式を見てもなんでそうなるかわかりにくいのではないでしょうか。
この記事では②のわかりにくいポイント、感覚的な意味と公式をつなげていきます。
円すいの公式が覚えられない①『中心角』は「大きい円は小さい円の何倍か」
上の図は円すいの展開図です。
おうぎ形+円ですね。そのおうぎ形から元の円を点線で復元しています。
ここで上の円の半径が４cm、下の円の半径が１cmのときを考えます。
円周は当然上の円が４倍になりますよね。
ここで、これが円すいの展開図であるなら弧の長さと円周は同じでないといけません。
上のおうぎ形は円の
ということになります。
中心角÷360度が半径÷母線になることはこのように２つの円の大きさを比較することで感覚的に理解できますね。
円すいの公式が覚えられない②『側面積』は おうぎ形(円)の公式から考える
実は①が分かってしまえば
上の式は通常のおうぎ形の公式と①の併用です。
このまま使ってもいいですし母線どうしを約分すれば
という形にもできるのでこの理解でも構いませんが、今回はせっかくなのでこの一番シンプルな最後の式を感覚的に理解してみます。
この公式は上の太線 母線× 弧の半分 でできていると考えられます。
弧=直径×円周率なので半径×円周で得られる式は弧の半分です。
おうぎ形(円)は半径×弧(円周)の半分 で求められることがわかっていればこの式は感覚的に理解できるわけです。
ただ おうぎ形(円)は半径×弧(円周)の半分 で求められること はあまり一般的ではないかもしれないので説明を加えます。
平面図形でも使える 円の面積は半径×弧の半分
実際に使うシーンは入試より単元別のテストで多そうですが、
円周は定義から 直径×円周率です。
ということは円周の半分は半径×円周率です。
円の面積は 半径×半径×円周率です。
こららより半径×円周の半分で面積が求められます。
じつはこれは円の面積の導出過程を考えると当然で、円周を求めるのが面倒なのでいつもの半径を２回かけた式を使っているのです。
逆にいうと円周がわかっているならいつもの式はつかわなくてもいいということですね。
円すいの体積の公式は…
円すいの体積の公式は
底面積×底面積÷３ですが小学校、中学校では求められないということになっています。
円の面積を扱っているくらいだから扱ってもいい気がしますが、まぁそれだけですごく時間もかかりますしね。
お時間があればこちらもどうぞ
円すいの体積はなんで÷３するの 円すいの体積の公式を小学生でもギリギリわかるように説明するための問題をつくりました
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