こんにちは。TANUKIです。
今回は算数の「場合の数」の定番の問題の一つ、カードを並べて整数をつくる問題についてです。
この記事の内容
カードの問題全基本パターン網羅
パターン1 (基礎)
1、2、3、4のカードを使ってつくれる3けたの整数は何通りありますか。
解法
1から始まるものを必ず順番に書く
123 124
132 134
142 143
他のカードが先頭の時にも6通りずつあるので6×4＝24通り
計算のみ解法
100の位が4通り
10の位がそのそれぞれに対して3通り
1の位がそのそれぞれに対して2通り
ゆえに4×3×2＝24
樹形図と同じですがとにかく速く応用が効きます。
パターン2 (0あり)
0、1、2、3のカードを使ってつくれる3けたの整数は何通りありますか。
解法
1から始まる数を必ず順番に書く
102 103
201 203
301 302
他の数が先頭の時も同じ
だが0は先頭にはならないので
6×3＝18通り
計算のみ解法
100の位が0を除いた3通り
それぞれに対して10の位は3通り
それぞれに対して1の位は2通り
3×3×2＝18通り
0は一番上の位に来れないので狙われます。
パターン3(奇数 ※5の倍数でない数も同じ解法)
0、1、2、3のカードを使ってつくれる3けたの奇数はいくつありますか。
解法
奇数なので１の位は1か3
1のとき100の位が2のものを順番に書く
201 231
100の位は3にもできるので2×2＝4通り
計算のみ解法
1の位は1と3の2通り
そのそれぞれに対して100の位は0と1の位の数を除いた2通りある
それぞれに対して残った10の位は2通り
2×2×2＝8通り
奇数かどうかは1の位で決まるのがポイントです。
パターン4(偶数※5の倍数も同じ解法)
0、1、2、3のカードを使ってつくれる3けたの偶数はいくつありますか。
解法
偶数なので1の位は0か2
0のとき
百の位が1の場合を順番に書く
120 130
百の位は3通りあるので2×3＝6通り
2のとき
百の位が1の場合を順番に書く
102 132
百の位は2通りあるので2×2＝4通り
6＋4＝10通り
計算のみ解法
パターン2の結果からパターン3の結果を引く
18－8＝10通り
<よくある間違い>
1の位が0と2の2通り
100の位が0と1の位を除いた2通り
10の位が残った2通り
2×2×2＝8通り
または
1の位が0と2の2通り
100の位は残った3通り
10の位はさらに残った2通り
2×3×2＝12通り
このどちらも誤り。1の位に0が来たときと2が来たときで100の位に来れる数字の個数が異なるので同時に計算することができません。2と0を分けて計算して足す必要があります。
奇数の場合は1の位に0が来ることはないのでその必要がなく奇数の方が簡単と言えます。
なので全体－奇数＝偶数
という解法を取ると計算だけでできます。
パターン5(3の倍数)
0、1、2、3のカードを使ってつくれる3の倍数はいくつありますか。
解法
3の倍数なので各位の和が3の倍数になる。
まずは足して3の倍数になる組み合わせを考える
(0、1、2) か (3、1、2)の2通り
(0、1、2)は102 120 201 210の4通り
(3、1、2)は312 321 123 132 213 231の6通り
合わせて10通り
まず組み合わせを考えて、それぞれの並びを考えるのがポイントです。
ハイレベルな話ですが、3で割ったあまりでグループ分けして
あまり0 0と3
あまり1 1だけ
あまり2 2だけ
なので012と312しかない
と考えることができます。
パターン6(複数枚)
0、0、1、1、1、2、3のカードを使ってつくれる3けたの整数はいくつありますか。
解法
ポイントは場合分けです
同じカードがあると難しいので同じカード有りは別に考えます。
①0を2枚使う場合
②1を3枚使う場合
③1を2枚使う場合
④複数枚使うカードはない場合
①0を2枚使う場合
100 200 300の3通りです。
②1を3枚使う場合
111の1通りです。
③1を2枚使う場合
110 101
112 121 211
113 131 311
の8通り
④複数枚使うカードはない場合
0、1、2 、3で3けたの整数をつくるので
3×3×2＝18通り
以上より
3＋1＋8＋18＝30通り
まとめ(カードの問題)
・使えるカードの枚数を考えることでかけ算が使える
・偶数、奇数、5の倍数など1の位にルールがあるものは1の位から考える
・3の倍数のように数の組み合わせが大事なものは、組み合わせを決めてから並び替える
・同じものを含む場合は別に考える