中学受験算数勉強方法

無料有り 階差数列 差が等差数列になる数列 問題プリント 攻略の手順

2022/01/15
 
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大手中学受験塾で主に算数の講師をしています。算数以外にも受験生の学習方法や進路相談などもしております。それらの業務で経験していることをお伝えしていきます。

等差数列は同じ数ずつ増えていく数列です。

そちらはかけ算、わり算を習得した3、4年生なら取り組むことができます。

その発展系で、差が少しずつ増えていく数列があります。

数列の差をとって新しく作った数列を階差数列というのですが、その階差数列が等差数列になる数列が、規則性の応用問題としてたびたび出題されます。

この記事では そんな 差が等差数列 の数列を考えていきます。

練習プリントも作成したのでぜひご覧下さい。

今回は答えを求める途中で等差数列の和を考えます。

等差数列の和がわからない場合は次のリンクから先に確認することをおすすめします。

等差数列の和の公式が覚えられない? 意味を考えながら解くことで理解できる。 無料練習プリント付き

階差数列 差が等差数列

規則を見つける

仕組みがわかれば(1)は難しくありません。

1増える、4増える、7増える、10増える、13増えると増える数が3ずつ増えていくのです。

6番目まで書いてあるので7番目は16増えて61、8番目は19増えて80、9番目は22増えて102、10番目は25増えて127

答えは127になります。

結果から新たな計算方法を考える

(1)は127とわかりましたが、同じことをして53番目まで計算するのは少し大変ですね。

そこで(1)の計算を少し見直してみましょう。

1番目の数は10でした。

そこから1増えて、4増えて、7増えて、10増えて……最後に25増えて127になったわけです。

式にするとこんな感じです。

10+1+4+7+10+……+22+25

一番最初の10を除くと、1から25は等差数列の和になります。

この部分を先に計算してしまえば、ひとつひとつ計算する必要がなくなります。

1.4.7.10.…について

25は9番目の数です。

というか実際に解くときには反対で、10番目の数までの間に差は9つあるので9番目の数を求めて25とわかります。

1から25まで9つの和なので

(1+25)÷2×9=117

もともとあった10と合わせて127と求められます。

つまり差が等差数列になっている数列は

①差の数列は全部で数が何個あり、最後に来る数はいくつか突き止める

②和を求めて、一番最初の数に加える

という手順で求めることができますね。

この手順を丸暗記は無理です。

しっかり理解して使えるようにしてください。

差が等差数列の問題を解く

実際に(2)で解きます。

53番目の数まで差は52個ある。

1.4.7.…という数列は3の倍数-2なので、52番目は3×52-2=154

1から154まで52個の数を足したらいい

(1+154)×26=4030

10から4030増えるので4040

階差数列 差が等差数列 問題 無料プリント

無料アプリnoteにて公開しています。

https://note.com/juken3su/n/n1214ceddb7a1

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大手中学受験塾で主に算数の講師をしています。算数以外にも受験生の学習方法や進路相談などもしております。それらの業務で経験していることをお伝えしていきます。

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