【全学年可】灘中算数 数論 あまりを考える問題で得られる思考力 2021年５番
今回の問題はかけ算わり算がわかっていれば低学年でも挑戦できる問題です。
将来、灘中学を考えていてもいなくても、ぜひ取り組んでみてください。
あまりを考える問題は灘中算数で頻出
Aは２桁の整数で、A×Aを15で割ると１あまります。このようなAは全部で□個あります。
灘中2021年 １日目5
シンプルな問題ですね。
２桁の数なので11から99までの90個の数字のうちいくつが条件を満たせばいいか考える問題です。
15の倍数は絶対に違うので15、30、45、60、75、90を除いた84個を試せば間違いなく求められますがさすがに大変ですね。
今回はこの問題を使って算数で学べる思考方法をお伝えしていきます。
少し解いて見て十分考えたら下に進んでください。
答えは26個です。
この問題、灘合格には必須レベルです。
順に解説します。
「具体的に実験する」は灘中算数 を筆頭に多くの難関校で必要な視点
実際に試してみましょう。
ただ今回与えられている２桁という条件は気にせず計算しやすい１から試して情報を得ます。
１×１=１→あまり１◎
２×２=４→あまり４×
３×３=９→あまり９×
４×４=16→あまり１◎
５×５=25→あまり10×
６×６=36→あまり６×
７×７=49→あまり４×
８×８=64→あまり４×
９×９=81→あまり６×
１０×１０=100→あまり10×
１１×１１=121→あまり１◎
１２×１２=144→あまり９×
１３×１３=169→あまり４×
１４×１４=196→あまり１◎
１５×１５は間違いなく１５で割り切れる
ここまででを観察するために【視覚化】してみると
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 1 | 4 | 9 | 1 | 10 | 6 | 4 | 4 | 6 | 10 | 1 | 9 | 4 | 1 | 0 |
7と8を切れ目に左右対称になっていますね。
このようにあまりには何かしら規則が見つけられることが多いです。
もう少しだけ調べてみます。
１６×１６=256→あまり１◎
１７×１７=289→あまり４×
１８×１８=324→あまり９×
１９×１９=361→あまり１◎
これで完全につかみましたね。
繰り返しです。周期は15
今回ちょうど90個の数を考えているので６周期とぴったり一致する
４×６=24個
あまりで分類するという話
実はこの問題このように解く灘受験生は合格者の中にはほぼいません。
初めはこのようにであった問題だと思いますが、知識として持っていることがあるわけです。
計算してからあまりを求めても、あまりをもとめてから計算してあまりを求めても同じになる
最初から１～１４までの数でいくつ該当するものがあるか調べればわかった上で取り組む受験生がほとんどです。
さらに１５で割って３あまる数は３で割り切れるので二回かけても３で割り切れるということがわかれば絶対にあまり１にならないこともわかるかもしれません。
同じ理由で、５、６、９、10、12も除外されます。
１、２、４、７、８、１１、１３、１４だけ調べたらいいので手間はかなり削減されますね。
平方数のあまりの対称性まで経験していたら１２４７の４つ調べて周期で終了です。速すぎる。
知っていると違うことはたしかにありますが、根本にあるのは基本的な思考方法【具体的な数で実験してみる】というところにあります。
難しい問題に出会った時に、手をとめて考えるのではなく、とりあえず手を動かして実験してみることを大切にしてくださいね。
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それを見につけられるかが勝負です。
